Julkaistu: 20.2.2004

Ars Conjectandi - todennäköisyyslaskenta on arvaamisen taitoa

Jacob Bernoulli (kutsuttu myös nimillä Jacques ja James) syntyi joulupäivänä Baselissa vuonna 1654 eli samana vuonna, jolloin Blaise Pascal ja Pierre de Fermat kävivät kuuluisaa kirjeenvaihtoaan, josta todennäköisyyslaskennan katsotaan alkavan. Todennäköisyyden käsite tarkoitti tuohon aikaan aivan muuta kuin mitä sillä nykyään tarkoitetaan. Pascalin ja Fermat'n laskelmat liittyivät sattumapeleihin ja olivat eräänlaista sattuman matematiikkaa, joka perustui apriori oletuksiin. Apriori tässä tarkoittaa sitä, että voittomahdollisuuksien lukumäärä oli laskettavissa etukäteen ennen peliä samoin kuin kaikkien tulosmahdollisuuksien lukumäärä. Christian Huygens (1629 - 1695) oli kirjannut näitä tulosmahdollisuuksia, apriori, teoreemoiksi teoksessaan De Ratiociniis in Ludo Aleae. Mikäli sattuman matematiikan kehittäminen olisi pysähtynyt tähän, ei sillä olisi ollut yhteiskunnassa paljonkaan sovellusmahdollisuuksia, koska monimutkaisemmissa reaalisissa tilanteissa todennäköisyydet eivät ole laskettavissa apriori, eivätkä ne ole symmetrisiä kuten esimerkiksi noppapeleissä.

Jacob Bernoulli etsi todennäköisyyttä aposteriori (jälkeen). Tilannetta voi kuvata yksinkertaisella esimerkillä. Maljassa on 5 000 pientä kiveä, joista 3 000 on valkoisia ja 2 000 mustia. Kun tiedämme nämä luvut etukäteen, tiedämme että niiden suhde apriori on 3:2. Jos sen sijaan emme tiedä näitä lukumääriä, meidän tulee arvioida tämä suhde tekemällä kokeita. Näin saamme arvion aposteriori tästä suhteesta. Jacobin ongelma oli, kuinka monta koetta tulee tehdä, jotta tämä aposteriori arvio tuottaisi moraalisen varmuuden. Hän käytti käsitettä moraalisesti varma tapauksista, jotka ovat erittäin lähellä täydellistä varmuutta. Yllä olevassa esimerkissä moraalisesti varma voisi olla esimerkiksi 999/1000 tai 9999/10 000. Selvää on, että mitä enemmän teemme kokeita, sitä lähemmäksi moraalista varmuutta päästään. Jacob Bernoulli rakensi myös matemaattisen esityksen tälle moraaliselle varmuudelle ja tuotti näin ensimmäisen yleisen matemaattisen muotoilun suurten lukujen lain käsitteelle.

Ennen kuin Bernoulli alkoi rakentaa teoriaansa, todennäköisyyttä ei oltu käsitelty numeroina. Port Royal logic oli käsitellyt todennäköisyyttä jo mitattavina suureina muttei lukuina. Sattumapelien teoria taas käsitteli lukuina symmetristen voittomahdollisuuksien tapauksia. Bernoulli halusi yhdistää silloisen sattuman matematiikan todennäköisyyden käsitteeseen. Teoksen Ars Conjecture neljäs osa käsittelee arvaamista (conjecture), joka on tapahtuman todennäköisyyden aposteriori mittaamista reaalitilanteissa, joissa tapausten esiintymisiä on mahdoton arvata etukäteen. Arvaamisen taito on määritellä tapauksen todennäköisyys niin tarkasti kuin mahdollista. Jos valkoisten ja mustien pallojen lukumäärä on tuntematon, voidaan todennäköisyys, kokeita riittävästi toistamalla, määrätä aposteriori siten, että saavutetaan moraalinen varmuus. Tästä hän tekee johtopäätöksen, että tulos soveltuu myös empiirisiin tieteisiin, missä todennäköisyyksiä ei voi määrätä apriori, koska siellä ei ole mieltä puhua äärellisestä määrästä yhtä todennäköisiä tapauksia.

Bernoullin tarkoituksena oli kirjassaan siis yhdistää Huygensin De Ratiociniis in Aleae Ludo ja Antoine Arnauldin (1612-1694) Port Royal logiikan neljäs osa, joka käsittelee todennäköisyyttä. Tämä näkyy siitä, että Huygensin teos kokonaisuudessaan on Bernoullin teoksessa julkaistu uudelleen muodostaen kirjan ensimmäisen osan. Kirjan nimi Ars Conjecture on taas johdettu Arnouldin kirjan nimestä Ars Cogitandi (ajattelun taito), joka oli toinen nimi Port Royal logiikalle.

Valitettavasti Ars Conjectandi julkaistiin niin myöhään, että se ei saanut sille kuuluvaa asemaa todennäköisyyslaskennan kehittymisessä. Se julkaistiin vasta kahdeksan vuotta Bernoullin kuoleman jälkeen vuonna 1713. Jacob Bernoulli oli työstänyt suurimman osan todennäköisyyden ideasta vuosina 1684-89. Kuitenkin tärkein eli neljäs osa hänen kirjastaan jäi viimeistelemättä hänen kuoltuaan vuonna 1705. Kirjan viimeistely annettiin hänen veljensä Nikolauksen pojalle, joka myös oli nimeltään Nikolaus. Tämä oli ollut Jacobin oppilaana. Nikolaus oli kuitenkin tällöin vasta 18-vuotias, ja tehtävä oli nuorukaiselle vaativa. Työ viivästyi viivästymistään kunnes vuonna 1713 sitä ei enää voitu viivytellä, koska yhteenveto kirjasta oli jo julkaistu eräässä matemaatikko- filosofi Fontenellen teoksessa ja tiedemaailma odotti sitä. Nikolaus kirjoitti esipuheen, jossa hän kuvasi teoksen sisältöä ja esitti syitä julkaisun viivästymiseen. Julkaisu tuli kuitenkin auttamattomasti myöhässä ja oli ilmestyessään jo vanhentunut.

Ismo Teikari

Päivitetty 20.2.2004

Lisätietoja:
sähköposti: tietoaika@tilastokeskus.fi