Julkaistu: 10.5.2004
Riskin karttajia ja riskin rakastajia
Peter ja Paul pelaavat peliä, missä Peter heittää kolikkoa ja jatkaa kunnes tulee ensimmäinen klaava. Peter maksaa Paulille kaksi dukaattia, jos klaava tulee ensimmäisellä heitolla, neljä dukaattia, jos klaava tulee vasta toisella heitolla, kahdeksan dukaattia, jos klaava tulee kolmannella heitolla, kuusitoista dukaattia, jos klaava tulee neljännellä heitolla jne. Jokaisella heitolla dukaattien määrä siis tuplaantuu. Kuinka paljon maksaisit Paulille saadaksesi hänen paikkansa pelissä.
Tämän niin kutsutun Pietarin paradoksin Nicolaus Bernoulli (1695-1726) esitti Daniel Bernoullille (1700-1782). Molemmat veljekset toimivat tällöin matematiikan professoreina Pietarin Tiedeakatemiassa, jonka Pietari Suuri oli juuri perustanut.
Pelin odotusarvo muodostuu äärettömäksi, koska odotusarvo jokaiselta heitolta on yksi dukaatti ja mahdollisten heittojen määrä on ääretön.
Odotusarvo, että klaava tulee ensimmäisellä heitolla on 1/2x2; Odotusarvo, että klaava tulee vasta toisella heitolla on 1/2x1/2x4; kolmannella heitolla 1/2x1/2x1/2x8 jne.
Kuitenkaan kukaan ei ole valmis maksamaan äärettömän suurta summaa; ei edes kovin suurta äärellistä summaa päästäkseen Paulin paikalle pelissä. Syntyy siis ristiriita matematiikan ja todellisuuden välille.
Daniel pyrki ratkaisemaan tämän paradoksin huomiolla, että on väärin laskea vain odotusarvoja. Sen lisäksi tulee myös arvioida näistä odotusarvoista koituva hyöty. Ennakoiden nykyistä alenevan rajahyödyn teoriaa hän ehdotti hyödyn arvoksi tulon logaritmia. Ratkaisu ei ole täysin oikea mutta ajatus, että hyödyn lisääntyminen suuren alkuvarallisuuden tapauksessa on pienempi kuin jos alkuvarallisuus on pieni, on tärkeä. Lisätulon antama hyöty on siis käänteisessä suhteessa jo olemassa olevaan varallisuuteen.
Tämä tuli myöhemmin kehittymään riskiteorian kantavaksi periaatteeksi. Myös Daniel Bernoullin ajatus, että ihmiset suhtautuvat riskeihin eri tavalla, on tuonut riskiteoriaan ajatuksen riskinkarttajasta, riskin rakastajasta ja riskineutraalista ihmisestä.
Odotusarvo eli hinta ja todennäköisyys ei Daniel Bernoullin mukaan ole riittävä arvon määrääjä. Vaikka tosiasiat ovat samat kaikille, hyöty on riippuvainen niistä olosuhteista, joissa henkilö tekee arvioitaan. Tällä teorialla hän osoitti virheelliseksi Antoine Arnauldin Port Royal logiikassaan esittämän esimerkin, jonka mukaan salaman iskun pelkääminen on epärationaalista, koska sen omalle kohdalle sattuminen on hyvin epätodennäköistä. Arnauldin keskeisenä teemana oli ollut ajatus, että pelko vahingosta pitää olla paitsi suhteessa vahingon suuruuteen myös vahingon todennäköisyyteen eli vahingon odotusarvoon. Daniel Bernoulli esitti asian niin, että eri ihmiset kokevat pelon eri tavalla. Jos ihmisellä on erittäin suuri pelko salaman iskusta, asettaa hän tälle mahdolliselle tapahtumalle ja sen seurauksille erittäin suuren painon huolimatta mitättömistä todennäköisyyksistä.
Sitä miten ihmisen kokevat riskit eri tavoin voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Kuvittele, että sinulle annetaan mahdollisuus valita kahdesta vaihtoehdosta. Saat joko lahjoituksena 25 euroa tai vaihtoehtoisesti mahdollisuuden pelata peliä, jossa sinulla on 50 prosentin mahdollisuus voittaa 50 euroa ja 50 prosentin mahdollisuus olla voittamatta mitään. Kummankin vaihtoehdon odotusarvo on 25 euroa. Kuitenkin, jos olet riskin välttäjä, valitset epäröimättä varman tulon.
1900-luvulla Danielin Bernoullin ajatuksista kehittyi riskiteoria, jota on käytetty hyväksi erityisesti taloustieteissä.
Bernoullit - maailman merkittävin matemaatikkosuku
Daniel Bernoulli syntyi Groningenissa vuonna 1700 Johan Bernoullin toisena poikana. Johan Bernoulli oli Jacob Bernoullin, joka esitti ensimmäisenä ns. suurten numerojen lain, veli. Danielin veli Nicolaus puolestaan on sama Bernoulli, joka viivästellen kirjoitti loppuun ja julkaisi Jacobin teoksen "Ars Conjectandi". Bernoullin suku on merkittävin matematiikkasuku maailman historiassa. Suku alkoi Jakob Bernoullista (1654 - 1705) ja tuotti peräti yhdeksän merkittävää matemaatikkoa reilun kahden sukupolven aikana.
Ismo Teikari
Päivitetty 10.5.2004
Lisätietoja:sähköposti: tietoaika@tilastokeskus.fi