Julkaistu: 9.1.2005
Pienimmän neliösumman menetelmä II
Kun metrin mittaa tehtiin
Matematiikan historiassa 1600-lukua kutsutaan nerouden vuosisadaksi, jolloin syntyi analyyttinen geometria sekä differentiaali- ja integraalilaskenta. 1800-lukua puolestaan kutsutaan kulta-ajaksi, jonka matematiikoista on kirjoitettu paljon historioita.
Yleisesti 1700-lukua kutsutaan vallankumousten vuosisadaksi, jonka jälkimmäiselle puoliskolle ajoittuu Yhdysvaltain itsenäisyystaistelut sekä Ranskan vallankumous. Uinuiko matematiikka 1700-luvulla? Ei, itse asiassa silloin valmisteltiin 1800-luvun "matemaattista vallankumousta". Ranskassa vaikutti joukko merkittäviä matemaatikkoja, jotka enemmän tai vähemmän osallistuivat vallankumoukselliseen kuohuntaan. Kuusi heistä nousi matemaattisiksi tiennäyttäjiksi: Monge, Lagrange, Laplace, Legendre, Carnot ja markiisi Condorcet. Näistä Condorcet kuoli vallankumouksen uhrina tekemällä itsemurhan vankilassa. Kaikki nämä matemaatikot olivat mukana tavalla tai toisella, kun vallankumouksen alkuvaiheissa vuonna 1790 Ranskan tiedekomitea perusti komitean Charles Maurice de Talleyrandin aloitteesta.
Talleyrand oli hyvin värikkään henkilöhistorian omaava valtiomies, joka muun muassa joutui eroamaan piispan virasta koska kannatti kirkon eroa valtiosta. Vallankumouksen jälkeen Talleyrand toimi Napoleonin hallituksen ulkoministerinä. Talleyrand oli ehdottanut painojen ja mittojen uudistamista, jotta saataisiin järkevä kymmenellä jaollinen järjestelmä lukuisien erilaisten ja yhteen sopimattomien mittojen tilalle.
Ranskan tiedeakatemian perustama komitea päätyi ehdotukseen, että metri olisi yksi kymmenesmiljoonasosa päiväntasaajan ja pohjoisnavan välisestä etäisyydestä mitattuna pitkin Pariisin kautta kulkevaa meridiaania. Näihin mittauksiin osallistui ranskalainen matemaatikko Adrien Marie Legendre (1752 - 1833). Hän oli syntynyt Pariisissa hyvinvoivaan perheeseen, jossa ennen vallankumousta oli mahdollisuus omistautua pelkästään tieteelliseen työhön. Vallankumous vuonna 1789 muutti kaiken, ja hän joutui elantonsa eteen työskentelemään erilaisissa hallinnollisissa tehtävissä. Geodeettinen työ, jota hän joutui tekemään, jäi sittemmin merkittäväksi vaiheeksi tilastotieteen historiassa. Tämän seurauksena Legendre nimittäin julkaisi vuonna 1805, Austerlitzin taistelun vuonna, teoksen, jossa hän esitti pienimmän neliösumman menetelmän.
Alku monimuuttujamallien ratkaisulle
Kun metriä määrittävät mittaustulokset julkaistiin vuonna 1799, ei Legendrellä ollut pienimmän neliösumman menetelmää käytössä. Myöhemmin hän palasi tekemiinsä mittauksiin ja pyrki pienimmän neliösumman menetelmää käyttäen määräämään maan muodon.
Maan litistyneisyyden mittaamiseksi oli jo tehty lukuisia mittauksia, jotka vaihtelivat tarkkuudeltaan. Ongelma oli, miten yhdistää nämä havainnot niin, että tulokseksi saataisiin mahdollisimman oikea tulos. Kustakin mittauksesta syntyy yhtälö, ja tästä yhtälöryhmästä pitää ratkaista tuntemattomien muuttujien arvo tilanteessa, missä yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia. Yhtälöissä selitettäväksi muuttujaksi asetetaan maan kaarevuutta mittava muuttuja ja selittäjiksi muuttujia, jotka mittaavat tätä kaarevuutta. Selittäville muuttujille tulee löytää sellaiset kertoimet, että kunkin yhtälön molemmille puolille syntyy mahdollisimman yhtäläinen luku eli näiden erotus on lähellä nollaa.
Boscovich oli käyttänyt geometrista menetelmää näiden erotusten itseisarvojen summien minimoimiseksi. Laplace oli kehittänyt työtä edelleen rakentaen algebran yhtälöt itseisarvoille. Legendre keksi neliöidä erotukset ja minimoida näistä syntyvä summa. Minimoiminen tapahtuu differentioimalla yhtälö kunkin muuttujan suhteen ja asettamalla tulokset nolliksi. Näiden differentiointien jälkeen on yhtä monta muuttujaa kuin on yhtälöitä ja muuttujien kertoimet on ratkaistavissa. Legendre ei tehnyt tästä yleistä ratkaisua vaan sovelsi menetelmää yksittäisiin tilanteisiin. Myöhemmin tästä on kehittynyt yleinen menetelmä lineaaristen monimuuttujamallien ratkaisussa.
Palkkimallista valon matkaan
Palataanpa vielä hetkeksi Legendren mittaustuloksiin. Jakamalla meridiaanin neljännes eli matka päivätasaajalta pohjoisnavalle 10 miljoonaan osaan, saatiin mitta jota kutsutaan metriksi.
Mitan ylläpitoa varten valmistettiin vuonna 1799 platinainen normaalimitta, ns. arkiivimetri, joka 1899 korvattiin oheisessa kuvassa esiintyvillä platinan ja iridiumin seoksesta tehdyillä palkeilla. Tätä metrin prototyyppiä säilytetään edelleen Pariisissa Mittojen ja painojen museossa. Vaikka se on myöhemmin havaittu epätarkaksi, nykyinen metri perustuu silti tähän prototyyppiin.
Jotta metri saataisiin riippumattomaksi mahdollisesti tuhoutuvasta tai muuttuvasta yksityisestä esineestä, vahvisti vuonna 1983 pidetty konferenssi uuden määritelmän, jonka mukaan metri on sellaisen matkan pituus, jonka valo kulkee tyhjiössä 1/299 792 458 sekunnissa.
Ismo Teikari
Päivitetty 9.1.2005