Tämä on arkistosisältöä, jota ei enää päivitetä.

Siirry ajantasaiselle Tilastotieto-sivulle.

Julkaistu: 4.7.2004

Gaussin käyrä keksittiin puoli vuosisataa ennen Gaussin syntymää

Neulatehtaan johtajalla on ongelma. Hän haluaa pitää viallisten neulojen määrän korkeintaan kymmenenä jokaista 100 000 valmistettua neulaa kohden. Nähdäkseen kuinka asiat sujuvat, hän on tehnyt 100 000 neulan satunnaisotoksen ja havainnut, että 12 neulaa on ilman nuppia; siis kaksi enemmän kuin olisi sallittu. Kuinka todennäköistä on saada otoksella 12 viallista neulaa, jos keskimääräinen viallisten määrä on 10? Ratkaisu ongelmaan löytyi Abraham De Moivren pohdiskeluista 1700-luvun alussa.

Jacob Bernoulli oli pohdiskellut ns. moraalisen varmuuden käsitettä eli todennäköisyyttä, jolla virhe havaitun arvon ja todellisen arvon välillä asettuu tiettyjen ennalta määrättyjen rajojen sisään. Hän oli laskeskellut sellaisten havaintojen lukumääriä, jotka johtaisivat kohtuulliseen virhemarginaaliin. Veljenpoika Nicolaus Bernoulli oli kääntänyt ongelman toisinpäin. Kun otetaan tietty lukumäärä havaintoja, mikä on todennäköisyys, että virhe havaitun ja oikean arvon välillä asettuu tiettyyn rajaan. Hän käytti esimerkkinä oletusta, jonka mukaan poikia ja tyttöjä syntyy suhteessa 18:17. Poikalapsia pitäisi siis olla 7 200 jokaista 14 000 syntynyttä lasta kohden. Hän laski sitten, että mahdollisuus on ainakin 43,58/1, että aktuaalinen poikien osuus syntyneistä olisi 7 200 ± 163.

Nicolaus Bernoulli kutsui ranskalaisen matemaatikon DeMoivren tekemään kanssaan tätä tutkimusta. DeMoivre kieltäytyi aluksi kunniasta mutta otti myöhemmin kutsun vastaan vuonna 1730. Bernoulli käsitteli ongelmaa, kuinka hyvin otos vastasi "populaatiota" (universe), josta otos oli poimittu. DeMoivre löysi ongelmaan yleisen ratkaisun ja liitti sen teoksensa 'Doctrine of Chances' toiseen painokseen vuonna 1733. Ensimmäinen painos oli jo vuodelta 1718. Tehtäessä otoksia binomijakautuneesta populaatiosta DeMoivre kykeni kertomaan etukäteen, miten tapaukset jakautuvat keskiarvon ympärillä. Binomijakaumaa noudattavat mm. Jacob Bernoullin kokeissaan käyttämät mustat ja valkoiset kivet, joita nostettiin maljasta.

DeMoivren keksimä jakauma tunnetaan nykyisin normaalikäyränä tai kellokäyränä, johtuen sen muodosta. Käyrä esittää suurimman määrän havainnoista kasaantuneena keskelle, lähelle keskiarvoa. Sitten käyrä kaartuu alas symmetrisesti keskiarvon molemmille puolille. Käyrän muoto mahdollisti sen, että DeMoivre laski havaintojen poikkeaman keskiarvosta, jota nykyisin kutsutaan keskihajonnaksi. Normaalikäyrää kutsutaan usein myös Gaussin käyräksi. Tämä on yksi monista tilastotieteen historiassa esiintyvistä virheistä. Gauss, jota tulen käsittelemään myöhemmin, johti käyrän geodeettisista mittaustuloksista - mutta yli puolivuosisataa myöhemmin kuin DeMoivre.

Gaussin käyrä

kuva

Todennäköisyyslaskentaa vakuutusten välittäjille

Abraham DeMoivre syntyi vuonna 1667 protestanttina Ranskassa, joka siihen aikaan oli vihamielinen kaikille, jotka eivät olleet katolisia. Kun kuningas Ludvig XIV vuonna 1685 oli kumonnut ns. Nantesin Ediktin, joka oli antanut protestanteille yhtäläiset oikeudet katolisten kanssa, DeMoivre muutti Englantiin. Englannissa matematiikasta kiinnostunut nuorukainen kohtasi uuden luonnontieteellisen ja matemaattisen ympäristön. Hän tapasi muun muassa Isaac Newtonin, josta tuli hänen hyvä ystävänsä.

Vuonna 1697 DeMoivre valittiin Royal Societyn jäseneksi. Yrityksistä huolimatta hän ei kuitenkaan koskaan saanut Englannissa matematiikan oppituolia ranskalaisen syntyperänsä vuoksi. Läpi elämänsä DeMoivre joutui taistelemaan köyhyyttä vastaan. Englannissa hän elätti itseään opettamalla matematiikkaa ja muun muassa konsultoimalla todennäköisyyslaskentaa vakuutusten välittäjille. Hän oli erinomainen matemaatikko. Kerrotaan, että Newtonilla oli vanhemmalla iällään tapana vastata kyselijöille, jotka halusivat selvitystä hänen teoksissaan esiintyvistä vaikeaselkoisista kohdista: "Kysykää DeMoivrelta, hän tuntee nämä asiat paremmin."

Karl Pearson kuvaa DeMoivren viimeisiä elinaikoja seuraavasti:

"Saavuttaessaan 80 vuoden iän DeMoivre menetti sekä näkönsä että kuulonsa. Hänen nukkuma-aikansa tuli myös yhä pidemmäksi ja pidemmäksi; 20 tunnin nukkuma-aika tuli hänelle tavalliseksi. Neljän tunnin valveillaoloaikanaan hänen ystävänsä kuitenkin huomasivat hänet yhtä teräväksi kuin aina ennenkin. Hän muisti pienimmätkin yksityiskohdat ja saneli täsmällisiä vastauksia kirjeisiin ja matemaattisiin ongelmiin. ... Uni varasti yhä suuremman ja suuremman osan hänen elinajastaan ja marraskuun 27. päivänä vuonna 1754 uni kesti täydet 24 tuntia hänen koskaan enää heräämättä.

Tänä vuonna tulee siis kuluneeksi 250 vuotta Gaussin käyrän todellisen keksijän kuolemasta.

Ismo Teikari


Päivitetty 4.7.2004